18:16 Олимпиада по математике 11 класс задания и ответы | |
|
2. (4) Решите систему уравнений 3. (5) Докажите, что для любых положительных x и y, для любого α . 4. (4) В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съела трёх щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут почувствовать себя сытыми за достаточно большой промежуток времени? 5. (5) В выпуклом четырехугольнике АВСD биссектрисы углов CAD и CBD пересекаются на стороне CD. Доказать, что биссектрисы углов ACB и ADB пересекаются на стороне АВ. Решения 1. Преобразуем левую и правую части равенства ( x + a x +2)(x +3)= x + (a + 3) x + (3а +2)x + 6 (x + b)(x + c x + 6 )= x + (b + c) x + (bc +6)x + 6b. Данное равенство будет являться тождеством тогда и только тогда, когда одновременно выполняется равенство a + 3= b + c, 3а +2= bc +6, 6=6b. Решая соответствующую систему уравнений, получим b = 1; a = 3; c = 5. Ответ: (x + 3 x +2)( x +3)= (x + 1 )(x + 5 x + 6 ). 2. Пусть , Ответ: (3; 0,6), (-4; 4,8). 3. Пусть тогда 4. Разобьем процесс съедения щук по этапам. На первом этапе 7 щук съедают 21 щуку и еще остается 2. На втором этапе щук всего 9 из них 2 голодных. Эти две съедают 6 щук. На третьем этапе щук всего 3, их недостаточно для того, чтобы накормить даже одну щуку. Ответ: 9 щук. 5. Пусть биссектрисы углов CAD и CBD пересекаются в т.М и . Для доказательства утверждения достаточно точку пересечения угла ACB с отрезком АВ (т.N) соединить с вершиной D и доказать, что DN биссектриса угла ADB 1). Т.к. ВМ биссектриса в ΔСВМ и АМ – биссектриса в ΔСАD, то по свойству биссектрисы и поэтому . 2). Т.к. CN биссектриса в Δ АСВ, то , поэтому по признаку биссектрисы. DN – биссектриса
| |
|
| |
| Всего комментариев: 0 | |