Контрольные работы, тесты для учителей

Докажите, что число 20082 + 20082 × 20092 + 20092 является ли квадратом целого числа.

Рассматриваются функции вида y = x2 + ax + b, где а + b = 2008. Докажите, что графики всех таких функций имеют общую точку.

На острове рыцарей и лжецов (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду) каждый болеет ровно за одну футбольную команду. В опросе приняли участие все жители острова. На вопрос «Болеете ли Вы за «Спартак»?» ответили «Да» 40% жителей. На аналогичный вопрос про «Зенит» утвердительно ответили 30%, про «Локомотив» - 50%, а про ЦСКА – 0%. Какой процент жителей острова действительно болеет за «Спартак»?

В выпуклом пятиугольнике ABCDE ﮮА = ﮮB =ﮮD = 90°. Найдите ﮮADB, если известно, что в данный пятиугольник можно вписать окружность.

Кольцевая дорога поделена столбами на километровые участки, и известно, что количество столбов четно. Один из столбов покрашен в желтый цвет, другой - в синий, а остальные – в белый. Назовем расстояние между столбами длину кратчайшей из двух соединяющих их дуг. Найдите расстояние от синего столба до желтого, если сумма расстояний от синего столба до белых равна 2008 км.

Ответы и решения задач варианта №4

Рассмотрим выражение n2 + n2 (n + 1)2 + (n + 1)2 = n4+ 2n3 + 2n2 + (n + 1)2 = n4+ 2n2 (n + 1) + (n + 1)2 = (n2 + n + 1)2. Данное число есть значение этого выражения при n = 2008. Значит, 20082 + 20082∙20092 + 20092 = (20082 + 2009)2 – квадрат целого числа.

y(1) = 1 + a + b = 2009. Следовательно, каждый из данных графиков проходит через точку с координатами (1; 2009).

Пусть x% жителей острова составляют лжецы. Тогда (100 – х)% составляют рыцари. Так как каждый рыцарь утвердительно ответил ровно на один из вопросов, а каждый лжец – на три, то (100 – х) + 3х = 40 + 30 + 50, откуда х = 10. Так как ни один из жителей острова не сказал, что болеет за ЦСКА, то все лжецы болеют за ЦСКА. Каждый из них заявил, что болеет за «Спартак», поэтому действительно болеют за «Спартак» 40% - 10% = 30% жителей.

Пусть О - центр окружности, вписанной в пятиугольник АВСDE. Проведем перпендикуляры ОК, ОL, OM, ON и OT к сторонам AB, BC, CD, DE и EAсоответственно. Поскольку проведенные отрезки являются радиусами окружности, то четырехугольники AKOT, KBLO и OMDN - равные квадраты. Диагонали OA, OB и OD рассмотренных квадратов равны, поэтому О – центр окружности, описанной около ∆ ADB. Следовательно, ﮮADB = 1/2ﮮAOB = 45°. (Учащиеся могут предложить и другие способы нахождения угла ADB,например, используя свойства отрезков касательных и формулу для нахождения суммы внутренних углов выпуклого пятиугольника).

Пусть на кольцевой дороге – 2n столбов. Вычислим сумму расстояний от синего столба до всех остальных: 2(1 + 2 + …+ (n– 1)) + n = 2((1 + n -1)/2) n + n = n2 (км). Следовательно, n2 > 2008. Учитывая, что n – натуральное число, получим, что n ≥ 45. Так как расстояние от синего столба до желтого не превосходит n, то n2 – n ≤ 2008 n(n – 1) ≤ 2008. Несложно проверить, что n = 45 удовлетворяет этому неравенству, а любое натуральное n, начиная с 46, - не удовлетворяет. Тогда n2 = 2025, следовательно, расстояние от синего столба до желтого равно 2025 – 2008 = 17.
Ответ: 17 км.